Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloTEORIA DEI NUMERI 1 - 8 CFU
Insegnante
Francesco Baldassarri
Periodo
I Anno - 2 Semestre | 02/03/2020 - 12/06/2020
Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)
Prerequisiti
I corsi di Algebra, Analisi 1 e 2, Algebra Lineare del primo biennio. Sarebbe molto utile avere già seguito un breve corso di Teoria di Galois.
Conoscenze e abilità da acquisire
Le conoscenze principali da acquisire sono:
1) la teoria algebrica degli anelli degli interi algebrici e anelli di Dedekind
2) la teoria del discriminante
3) estensioni quadratiche e ciclotomiche
4) decomposizione dei primi in una estensione, specialmente nel caso di i Galois
5) la nozione di numero di classi di un corpo di numeri algebrici
6) Finitezza del numero di classi
7) Risultati principali sulle unità (Teorema di Dirichlet)
8) La funzione zeta e le serie L
Modalità di esame
Si proporrano 1 o 2 relazioni scritte durante il corso su argomenti scelti insieme all'insegnante.
Il loro scopo è di verificare la comprensione delle lezioni e l'interesse per la materia.
L'esame si concluderà con una relazione finale svolta a casa su un argomento scelto all'insegnante. A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso.
Un esame orale finale è riservato a chi mira a voti eccezionali.
Criteri di valutazione
Si valuterà il grado di comprensione e di assimilazione del materiale presentato.
Si apprezzeranno e valuteranno anche l'impegno di studio, l'interesse per la materia e la capacità di risolvere problemi.
contenuti
1. Teoria algebrica di base dei gruppi e anelli commutativi.
2. Fattorizzazione di elementi e di ideali
3. Domini di Dedekind.
4. Corpi di numeri algebrici. Corpi ciclotomici e quadratici.
5. Anelli di interi. Proprietà di fattorizzazione.
6. Estensioni finite, decomposizione, ramificazione. Teoria della decomposizione di Hilbert.
7. Automorfismo di Frobenius, mappa di Artin;
8. Corpi quadratici e ciclotomici. Legge di reciprocità quadratica. Somme di Gauss.
9. Una introduzione alla teoria del corpo di classi (da Kato-Kurokawa-Saito, Vol. 2 Cap. 5).
10. Teoria di Minkowski (finitezza del numero di classi e teorema delle unità).
11. Serie di Dirichlet, funzione zeta, valori speciali e formula per il
numero di classi.
Tutto il materiale si trova nel testo : Daniel A. Marcus "Number Theory", Springer-Verlag. La parte essenziale del programma consiste dei Capitoli da 1 a 5, con gli esercizi utilizzati nelle dimostrazioni. I capitoli 6 e 7 sono necessari per ottenere un voto molto buono. Le lunghe dimostrazioni analitiche reali dei capitoli 5/6/7 non saranno essenziali. È tuttavia necessaria una buona comprensione dei metodi di analisi complessa.
Si raccomanda la lettura, a scopo culturale, dei due libri di Kato-Kurokawa-Saito, eventualmente saltandone le dimostrazioni.
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Le 1 o 2 relazioni proposte durante il semestre saranno un controllo della comprensione del corso da parte dello studente. Molto spesso gli argomenti proposti saranno tratti da sezioni del libro indicate precedentemente, allo scopo di incoraggiare gli studenti a cimentarsi con gli esercizi del libro.
A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso. Si potrà cosí valutare la capacità espositive dello studente.
L'eventuale esame orale finale consiste in una presentazione orale da svolgere in sede separata su un argomento scelto dal docente con un paio di ore di anticipo per la preparazione.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
E' possibile che uno studente trovi più semplice studiare uno o più argomenti in altri libri di testo o in note di corsi reperibili online. Quando possibile, l'insegnante darà indicazioni su dove reperire tale materiale.