Home » Laurea Magistrale » Corsi » SYMPLECTIC MECHANICS

Laurea Magistrale in Matematica

Salta il menu di secondo livello

SYMPLECTIC MECHANICS - 6 CFU

Insegnante

Francesco Fasso'

Periodo

I Anno - 2 Semestre | 28/02/2022 - 11/06/2022

Ore: 48 (24 esercitazione, 24 lezione)

Torna su ▲

Prerequisiti

Nozioni di base di Geometria Differenziale (varieta`, forme differenziali, campi vettoriali), al livello al quale sono trattati nel corso di "Differential Geometry" al primo semestre. Conoscenze elementari di meccanica Lagrangiana ed Hamiltoniana (al livello del corso di "Fisica Matematica" del II anno della Laurea Triennale) sono utili, anche se non strettamente necessarie.

Conoscenze e abilità da acquisire

Il corso fornisce un'introduzione alla geometria simplettica, alla meccanica Hamiltoniana su varieta` simplettica, ai gruppi di Lie e alle loro azioni. Particolare attenzione e` posta alle simmetrie e all'integrabilita`. L'enfasi e` sugli aspetti differenziali e topologici della materia.

Modalità di esame

Esame orale sugli argomenti trattati nel corso.

Criteri di valutazione

Valutazione della conoscenza e della comprensione matematica della materia.

contenuti

1. Varieta` simplettiche e sistemi Hamiltoniani.
Richiami di meccanica Hamiltoniana in R^(2n). Forme simplettiche e geometria simplettica. Fibrati cotangenti. L'algebra di Lie dei campi vettoriali Hamiltoniani. Mappe simplettiche e funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi e sottovarieta` Lagrangiane. Varieta` di Poisson. Esempi.

2. Gruppi di Lie e le loro azioni.
Gruppi di Lie e la loro struttura geometrica (algebre di Lie, mappa esponenziale, tori massimali). Struttura di Lie-Poisson del duale di un'algebra di Lie; orbite coaggiunte. Azioni di gruppi di Lie. Spazi quoziente. Fibrati principali. Esempi.

3. Simmetria, riduzione e leggi di conservazione.
Campi vettoriali invarianti. Riduzione. Ricostruzione. Equilibri relativi. Azioni Hamiltoniane su varieta` simplettiche. Azioni liftate su fibrati cotangenti. Mappa momento. Riduzione simplettica e di Poisson. Sistemi Hamiltoniani invarianti a sinistra su fibrati cotangenti di gruppi di Lie. Esempi.

4. Integrabilita`.
Azioni di toro e integrabilita`. Il teorema di Lioville-Arnold e alcune generalizzazioni. Esempi.

Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento

Lezioni frontali ed esercitazioni

Eventuali indicazioni sui materiali di studio

Il materiale di studio verra` indicato e fornito durante il corso, nella forma di note e di indicazioni di parti selezionate di libri di testo.

Testi di riferimento