Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloNUMBER THEORY 1 - 8 CFU
Insegnante
Matteo Longo
Periodo
I Anno - 1 Semestre | 04/10/2021 - 15/01/2022
Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)
Prerequisiti
I corsi di Algebra, Analisi 1 e 2, Algebra Lineare del primo biennio. Sarebbe molto utile avere già seguito un breve corso di Teoria di Galois.
Conoscenze e abilità da acquisire
Le conoscenze principali da acquisire sono:
1) la teoria algebrica degli anelli degli interi algebrici e anelli di Dedekind
2) la teoria del discriminante
3) estensioni quadratiche e ciclotomiche
4) decomposizione dei primi in una estensione, specialmente nel caso di i Galois
5) Teoria di base delle valutazioni
6) la nozione di numero di classi di un corpo di numeri algebrici
7) Finitezza del numero di classi
8) Risultati principali sulle unità (Teorema di Dirichlet)
9) La funzione zeta e le serie L
Modalità di esame
Esame scritto ed orale.
Criteri di valutazione
Si valuterà il grado di comprensione e di assimilazione del materiale presentato.
Si apprezzeranno e valuteranno anche l'impegno di studio, l'interesse per la materia e la capacità di risolvere problemi.
contenuti
1. Teoria algebrica di base dei gruppi e anelli commutativi.
2. Fattorizzazione di elementi e di ideali
3. Domini di Dedekind.
4. Corpi di numeri algebrici. Corpi ciclotomici e quadratici.
5. Anelli di interi. Proprietà di fattorizzazione.
6. Estensioni finite, decomposizione, ramificazione. Teoria della decomposizione di Hilbert.
7. Automorfismo di Frobenius, mappa di Artin;
8. Corpi quadratici e ciclotomici. Legge di reciprocità quadratica. Somme di Gauss.
9. Una introduzione alla teoria del corpo di classi.
10. Teoria di Minkowski (finitezza del numero di classi e teorema delle unità).
11. Serie di Dirichlet, funzione zeta, valori speciali e formula per il numero di classi.
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Esame scritto ed orale. L'orale consisterà in una discussione dello scritto.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
E' possibile che uno studente trovi più semplice studiare uno o più argomenti in altri libri di testo o in note di corsi reperibili online. Quando possibile, l'insegnante darà indicazioni su dove reperire tale materiale.
Le note del corso sono pubblicate su Moodle.
Tutto il materiale bibliografico adottato è accessibile gratuitamente online come e-book attraverso la Biblioteca del Dipartimento. Domandare ai bibliotecari le modalità di accesso.