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Laurea Magistrale in Matematica

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INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI - 8 CFU

Insegnante

Francesco Rossi

Periodo

I Anno - 1 Semestre | 30/09/2019 - 18/01/2020

Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)

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Prerequisiti

Calcolo integrale e differenziale.
Teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie.
Nozioni di base di analisi complessa (funzioni di variabile complessa, funzioni olomorfe e analitiche).

Conoscenze e abilità da acquisire

Nozioni basilari di teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali lineari. Corso di base, consigliato sia agli studenti con interessi di matematica pura che applicata, ed in particolare agli studenti con un curriculum di Analisi.

Modalità di esame

L'esame consiste di una prova orale.
La prova verte sul programma svolto a lezione e consiste sia di domande teoriche che della risoluzione di qualche esercizio.

Criteri di valutazione

I criteri adottati saranno i seguenti:
-chiarezza e rigore dell’esposizione di enunciati e teoremi
-completezza ed aderenza agli argomenti della trattazione
-capacita' di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi.

contenuti

Piano didattico:
- Equazioni del primo ordine: equazioni di trasporto a coefficienti costanti, leggi di conservazione (soluzoni classiche e deboli, condizioni di Rankine-Hugoniot, problema di Riemann).
- Equazione delle onde: esistenza della soluzione, formula di D'Alembert, metodo delle medie sferiche, principio di Duhamel, unicita', velocita' finita di propagazione.
- Equazione di Laplace, soluzione fondamentale, funzioni armoniche e principali proprieta', formule del valor medio,
Teorema di Liouville, disuguaglianza di Harnack, principio del massimo. Equazione di Poisson. Funzione di Green e formula di Poisson di rappresentazione delle soluzioni. Cenni della teoria delle distribuzioni. Soluzioni deboli dell'equazione di Laplace su domini limitati sono funzioni armoniche.
- Equazione del calore, soluzione fondamentale, esistenza delle soluzioni per il problema di Cauchy e formula di rappresentazione. Unicita' e stabilita' delle soluzioni.
Formule del valor medio, principio del massimo, principio del massimo di Hopf.

Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento

La metodologia d'insegnamento utilizzata sara' la lezione frontale (utilizzo del tablet).

Eventuali indicazioni sui materiali di studio

Testi di riferimento