Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloINTRODUCTION TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS - 8 CFU
Insegnante
Laura Caravenna
Periodo
I Anno - 1 Semestre | 04/10/2021 - 15/01/2022
Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)
Prerequisiti
Calcolo integrale e differenziale: fondmamenti su integrazione e differenziazione, integrazione e derivazione esplicita di funzioni elementari, teorema fondamentale del calcolo integrale, elementi su curve e superfici. I teoremi di Green-Gauss-Stokes o della divergenza, come le procedure di limiti negli integrali, sono importanti ma saranno riviste a un livello di base.
Teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e sul problema di Cauchy. La classica buona positura, come le stime di Gronwall, saranno riviste a un livello di base.
Nozioni di base di analisi complessa: cosa sono le funzioni di variabile complessa, olomorfe e analitiche, proprietà essenziali come le equazioni di Cauchy-Riemann.
Conoscenze e abilità da acquisire
Saper esporre nozioni basilari di parte della teoria consolidata sulle equazioni differenziali alle derivate parziali lineari e saper risolvere problemi di tipo e difficoltà analoghi a quelli proposti durante l'anno, un po' superiore per la lode. Riconoscere l'utilità delle applicazioni in altre discipline e l'importanza storica del tema. Corso di base, consigliato sia agli studenti con interessi di matematica pura che applicata, ed in particolare agli studenti con un curriculum di Analisi.
Modalità di esame
L'esame consiste di una prova orale.
La prova verte sul programma svolto a lezione e consiste sia di domande teoriche che della risoluzione di qualche esercizio.
Sarà possibile una prova ridotta mediante lo svolgimento di attività in itinere.
Criteri di valutazione
I criteri adottati saranno i seguenti:
-chiarezza e rigore dell’esposizione di enunciati e teoremi
-completezza ed aderenza agli argomenti della trattazione
-capacita' di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi.
contenuti
Piano didattico:
- Equazioni del primo ordine: equazioni di trasporto a coefficienti costanti, leggi di conservazione (soluzoni classiche e deboli, condizioni di Rankine-Hugoniot, problema di Riemann). Cenni sul teorema di Cauchy-Kovalevskaya e sulla classificazione di alcune equazioni del secondo ordine.
- Equazione delle onde: esistenza della soluzione, formula di D'Alembert, metodo delle medie sferiche, principio di Duhamel, unicita', velocita' finita di propagazione.
- Equazione di Laplace, soluzione fondamentale, funzioni armoniche e principali proprieta', formule del valor medio,
Teorema di Liouville, disuguaglianza di Harnack, principio del massimo. Equazione di Poisson. Funzione di Green e formula di Poisson di rappresentazione delle soluzioni. Cenni della teoria delle distribuzioni. Soluzioni deboli dell'equazione di Laplace su domini limitati sono funzioni armoniche.
- Equazione del calore, soluzione fondamentale, esistenza delle soluzioni per il problema di Cauchy e formula di rappresentazione. Unicita' e stabilita' delle soluzioni.
Formule del valor medio, principio del massimo, principio del massimo di Hopf.
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
La metodologia d'insegnamento utilizzata sara' la lezione frontale (utilizzo del tablet).
Si proporranno piccole attività che richiedono la partecipazione attiva di chi frequenta.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Il primo libro è disponibile in biblioteca. Includeranno:
Salsa, Sandro, Partial differential equations in actionfrom modelling to theorySandro Salsa, Cham [etc.], Springer, 2015.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd edition, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2010.
W. A. Strauss, Partial Differential Equations. An Introduction, New York, Wiley, 1992.