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Laurea Magistrale in Matematica

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI - 6 CFU

Insegnante

Martino Bardi

Periodo

I Anno - 2 Semestre | 02/03/2020 - 12/06/2020

Ore: 48 (24 esercitazione, 24 lezione)

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Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale in più variabili; teoria di base sulle equazioni differenziali ordinarie; alcuni risultati classici di analisi funzionale.

Conoscenze e abilità da acquisire

Il corso ha come primo scopo di portare lo studente ad acquisire familiarita' e padronanza con metodi di analisi e soluzione di equazioni alle derivate parziali non lineari di tipo Hamilton-Jacobi. Inoltre si intende sviluppare la capacita' di applicare tali equazioni a problemi di controllo ottimo di sistemi dinamici anche con piu' agenti, mediante un'introduzione alla teoria elementare dei giochi e poi a quella dei giochi differenziali, anche a campo medio.

Modalità di esame

Prova orale o sul programma svolto, comprensivo degli esercizi proposti, o, a scelta dello studente, su un approfondimento di un argomento collegato a quelli del corso.

Criteri di valutazione

La valutazione della preparazione dello studente si basera' sulla comprensione e padronanza dei concetti e dei risultati proposti a lezione e sulla capacita' di utilizzarli in modo autonomo e consapevole anche in problemi connessi ai temi del corso ma non svolti a lezione.

contenuti

1a parte:
- Equazioni di Hamilton-Jacobi: modelli e motivazioni.
- Il metodo delle caratteristiche.
- Collegamenti con la meccanica analitica e il calcolo delle variazioni; formule di Hopf-Lax.
- Introduzione alle soluzioni di viscosità: buona posizione dei problemi di Dirichlet e di Cauchy.
- Introduzione alla teoria del controllo ottimo: programmazione dinamica ed equazioni di Bellman, sintesi di feedback ottimali.
2a parte:
- Giochi a somma nulla e matriciali: il teorema min-max e le sue conseguenze.
- Giochi a N persone: equilibri di Nash.
- Giochi differenziali a 2 persone: teoremi di verifica e equilibri di Nash in forma feedback.
- Giochi differenziali a somma nulla: strategie causali e la definizione di valore; Programmazione dinamica ed equazione di H-J-Isaacs; esistenza del valore.
- Giochi a campo medio determistici: motivazioni della teoria, derivazione del sistema di equazioni a derivate parziali; unicita' della soluzione; alcuni risultati di esistenza, con esempi.

Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento

Lezioni frontali. Viene utilizzato un tablet e le lezioni vengono messe a disposizione degli studenti alla fine di ogni settimana sotto forma di file PDF scaricabile dal sito del docente. Vengono proposti esercizi la cui soluzione puo' far parte degli argomenti d'esame.

Eventuali indicazioni sui materiali di studio

Vengono indicati tre testi di riferimento e una dispensa del docente sulla seconda meta` del corso.

Testi di riferimento

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