Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloEQUAZIONI DIFFERENZIALI - 6 CFU
Insegnante
Martino Bardi
Periodo
I Anno - 2 Semestre | 02/03/2020 - 12/06/2020
Ore: 48 (24 esercitazione, 24 lezione)
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale in più variabili; teoria di base sulle equazioni differenziali ordinarie; alcuni risultati classici di analisi funzionale.
Conoscenze e abilità da acquisire
Il corso ha come primo scopo di portare lo studente ad acquisire familiarita' e padronanza con metodi di analisi e soluzione di equazioni alle derivate parziali non lineari di tipo Hamilton-Jacobi. Inoltre si intende sviluppare la capacita' di applicare tali equazioni a problemi di controllo ottimo di sistemi dinamici anche con piu' agenti, mediante un'introduzione alla teoria elementare dei giochi e poi a quella dei giochi differenziali, anche a campo medio.
Modalità di esame
Prova orale o sul programma svolto, comprensivo degli esercizi proposti, o, a scelta dello studente, su un approfondimento di un argomento collegato a quelli del corso.
Criteri di valutazione
La valutazione della preparazione dello studente si basera' sulla comprensione e padronanza dei concetti e dei risultati proposti a lezione e sulla capacita' di utilizzarli in modo autonomo e consapevole anche in problemi connessi ai temi del corso ma non svolti a lezione.
contenuti
1a parte:
- Equazioni di Hamilton-Jacobi: modelli e motivazioni.
- Il metodo delle caratteristiche.
- Collegamenti con la meccanica analitica e il calcolo delle variazioni; formule di Hopf-Lax.
- Introduzione alle soluzioni di viscosità: buona posizione dei problemi di Dirichlet e di Cauchy.
- Introduzione alla teoria del controllo ottimo: programmazione dinamica ed equazioni di Bellman, sintesi di feedback ottimali.
2a parte:
- Giochi a somma nulla e matriciali: il teorema min-max e le sue conseguenze.
- Giochi a N persone: equilibri di Nash.
- Giochi differenziali a 2 persone: teoremi di verifica e equilibri di Nash in forma feedback.
- Giochi differenziali a somma nulla: strategie causali e la definizione di valore; Programmazione dinamica ed equazione di H-J-Isaacs; esistenza del valore.
- Giochi a campo medio determistici: motivazioni della teoria, derivazione del sistema di equazioni a derivate parziali; unicita' della soluzione; alcuni risultati di esistenza, con esempi.
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Lezioni frontali. Viene utilizzato un tablet e le lezioni vengono messe a disposizione degli studenti alla fine di ogni settimana sotto forma di file PDF scaricabile dal sito del docente. Vengono proposti esercizi la cui soluzione puo' far parte degli argomenti d'esame.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Vengono indicati tre testi di riferimento e una dispensa del docente sulla seconda meta` del corso.
Testi di riferimento
- P. Cardaliaguet, Notes on Mean Field Games, 2010 online sul sito del corso
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, A.M.S., 1998. 2nd edition 2010
- E.N. Barron, Game theory, Hoboken, Wiley, 2008.
- M. Bardi, Appunti del corso di Equazioni Differenziali, 2018 online sul sito del corso
- M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Boston, Birkhauser, 1997. 2nd printing, 2008.