Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloDIFFERENTIAL GEOMETRY - 8 CFU
Insegnante
Davide Barilari
Periodo
I Anno - 1 Semestre | 04/10/2021 - 15/01/2022
Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)
Prerequisiti
Il corso richiede conoscenze di algebra lineare (spazi vettoriali, funzioni lineari, matrici, forme bilineari e, più in generale, forme multilineari) e di analisi matematica (calcolo differenziale e calcolo integrale per funzioni di una o più variabili). E' anche richiesta la conoscenza di alcune nozioni di topologia elementare (insiemi aperti, chiusi, connessi, compatti e loro principali proprietà).
Conoscenze e abilità da acquisire
Al termine del corso si richiede che lo studente abbia acquisito familiarità con la nozione di varietà differenziabile e abbia raggiunto una buona padronanza, sia a livello teorico che pratico, del calcolo differenziale e integrale sulle varietà differenziabili. Si richiede che lo studente sia in grado di dimostrare i principali risultati studiati e che sia anche in grado di applicare tali risultati alla risoluzione di problemi concreti.
Modalità di esame
La verifica delle conoscenze e delle abilità attese viene effettuata con una prova d'esame strutturata in una prova scritta seguita da una prova orale.
Nella prova scritta viene richiesto allo studente di risolvere alcuni esercizi, i quali sono formulati in modo da permettere di verificare se lo studente è in grado di applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti.
Lo studente che ottiene una valutazione sufficiente nella prova scritta è ammesso alla prova orale.
Durante la prova orale vengono rivolte alcune domande al fine di verificare il grado di conoscenza dei vari argomenti trattati nel corso.
Il voto finale viene formulato dal docente tenendo conto sia del voto ottenuto dallo studente nella prova scritta, sia dell'esito della prova orale.
Criteri di valutazione
I criteri di valutazione con cui verrà effettuata la verifica delle conoscenze e delle abilità acquisite sono:
1. Completezza delle conoscenze acquisite;
2. Capacità di esporre le conoscenze acquisite in modo chiaro, usando un linguaggio appropriato;
3. Capacità di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi concreti.
contenuti
1. Varietà differenziabili, mappe lisce tra varietà.
Lo spazio tangente a una varietà in un suo punto, vettori tangenti e derivazioni.
Sottovarietà: immersioni, sommersioni ed embeddings.
2. Fibrato tangente, campi vettoriali, flussi, Lie brackets.
Distribuzioni integrabili e non integrabili. Il teorema di Frobenius.
3. Fibrato cotangente, fibrati vettoriali. Tensori.
Forme differenziali su una varietà differenziabile, l'algebra esterna.
Varietà orientabili e varietà con bordo.
Integrazione di forme differenziali. Il teorema di Stokes.
4. Metriche su una varietà differenziabile: varietà Riemanniane. Geodetiche.
Connessioni lineari compatibili con la metrica, la connessione di Levi-Civita.
Il trasporto parallelo. Il tensore di curvatura di Riemann.
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Le attività didattiche prevedono lezioni frontali in aula.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Tutto il materiale di studio supplementare, come ad esempio note del corso e suggerimenti per ulteriori libri di testo, sarà reperibile consultando la pagina moodle del corso su elearning.unipd.it/math/