Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloCOMPLEX ANALYSIS - 6 CFU
Insegnante
Pietro Polesello
Periodo
I Anno - 1 Semestre | 28/09/2020 - 16/01/2021
Ore: 48 (24 esercitazione, 24 lezione)
Prerequisiti
- Corsi della laurea triennale di Geometria e Analisi
- Nozioni elementari di funzioni di una variabile complessa. In particolare:
identita' di Cauchy-Riemann e derivazione complessa; funzioni olomorfe; integrali di linea di funzioni olomorfe, loro invarianza per omotopia. Logaritmo di un cammino e indice di avvolgimento. Formula di Cauchy per il cerchio. Analiticita' delle funzioni olomorfe. Insieme degli zeri di una funzione olomorfa; teorema di identita'. Serie di Laurent e singolarita' isolate. Teorema dei residui, con applicazioni per il calcolo di integrali. (Queste nozioni saranno brevemente richiamate nelle prime lezioni.)
Conoscenze e abilità da acquisire
Nozioni avanzate di funzioni di una variabile complessa (in particolare: le principali proprieta' delle funzioni olomorfe/meromorfe sul piano e sul piano esteso, e i diversi modi di rappresentarle/costruirle - tramite serie, integrali o prodotti infiniti; lo studio delle mappe conformi tra regioni del piano, e della funzione Gamma e Zeta), con applicazioni (in particolare: il teorema dei numeri primi).
Modalità di esame
Esame scritto (esercizi, esercizi teorici, enunciati con dimostrazione; durata: 2h30), con possibile esame orale facoltativo per migliorare il voto.
Criteri di valutazione
Lo studente deve essere in grado di risolvere degli esercizi e deve dimostrare di conoscere i principali risultati della teoria, con le relative dimostrazioni.
contenuti
- Principio dell'Argomento con applicazioni
- Mappe conformi e teorema della mappa di Riemann
- Principio di riflessione di Schwarz
- Teoria di Runge con applicazioni
- Prodotti infiniti e teorema di fattorizzazione di Weierstrass
- Decomposizione in frazioni parziali e teorema di Mittag-Leffler
- Ideali principali di funzioni olomorfe
- Alcune funzioni speciali (Gamma, Zeta)
- Il teorema dei numeri primi
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Lezioni con il tablet (eventualmente in modalità completamente telematica), con assegnazione (e successivo svolgimento) di esercizi.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Materiale bibliografico addizionale:
- slides delle lezioni tenute in aula
- esercizi d'esame svolti
- Giuseppe De Marco, Selected Topics of Complex Analysis, self - published (2012)
- Giuseppe De Marco, Basic Complex Analysis, self published (2011)
- Reinhold Remmert, Classical Topics in Complex Function Theory. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (1991)
- Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (1991)
Testi di riferimento
- Jean-Pierre Schneiders, Fonctions de Variables Complexes, Université de Liège, self published, 2010 The pdf will be available from the course's home page
- Rudin, Walter, Real and complex analysis, New York, McGraw-Hill, 1974.
- Gamelin, Theodore W., Complex analysisTheodore W. Gamelin, New York [etc.], Springer, 2001.
- Ash, Robert B.; Novinger, W. Phil, Complex variablesRobert B. Ash, W. Phil Novinger, Mineola, Dover publications, 2007.