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Laurea Magistrale in Matematica

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COMPLEX ANALYSIS - 6 CFU

Insegnante

Pietro Polesello

Periodo

I Anno - 1 Semestre | 28/09/2020 - 16/01/2021

Ore: 48 (24 esercitazione, 24 lezione)

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Prerequisiti

- Corsi della laurea triennale di Geometria e Analisi
- Nozioni elementari di funzioni di una variabile complessa. In particolare:
identita' di Cauchy-Riemann e derivazione complessa; funzioni olomorfe; integrali di linea di funzioni olomorfe, loro invarianza per omotopia. Logaritmo di un cammino e indice di avvolgimento. Formula di Cauchy per il cerchio. Analiticita' delle funzioni olomorfe. Insieme degli zeri di una funzione olomorfa; teorema di identita'. Serie di Laurent e singolarita' isolate. Teorema dei residui, con applicazioni per il calcolo di integrali. (Queste nozioni saranno brevemente richiamate nelle prime lezioni.)

Conoscenze e abilità da acquisire

Nozioni avanzate di funzioni di una variabile complessa (in particolare: le principali proprieta' delle funzioni olomorfe/meromorfe sul piano e sul piano esteso, e i diversi modi di rappresentarle/costruirle - tramite serie, integrali o prodotti infiniti; lo studio delle mappe conformi tra regioni del piano, e della funzione Gamma e Zeta), con applicazioni (in particolare: il teorema dei numeri primi).

Modalità di esame

Esame scritto (esercizi, esercizi teorici, enunciati con dimostrazione; durata: 2h30), con possibile esame orale facoltativo per migliorare il voto.

Criteri di valutazione

Lo studente deve essere in grado di risolvere degli esercizi e deve dimostrare di conoscere i principali risultati della teoria, con le relative dimostrazioni.

contenuti

- Principio dell'Argomento con applicazioni
- Mappe conformi e teorema della mappa di Riemann
- Principio di riflessione di Schwarz
- Teoria di Runge con applicazioni
- Prodotti infiniti e teorema di fattorizzazione di Weierstrass
- Decomposizione in frazioni parziali e teorema di Mittag-Leffler
- Ideali principali di funzioni olomorfe
- Alcune funzioni speciali (Gamma, Zeta)
- Il teorema dei numeri primi

Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento

Lezioni con il tablet (eventualmente in modalità completamente telematica), con assegnazione (e successivo svolgimento) di esercizi.

Eventuali indicazioni sui materiali di studio

Materiale bibliografico addizionale:
- slides delle lezioni tenute in aula
- esercizi d'esame svolti
- Giuseppe De Marco, Selected Topics of Complex Analysis, self - published (2012)
- Giuseppe De Marco, Basic Complex Analysis, self published (2011)
- Reinhold Remmert, Classical Topics in Complex Function Theory. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (1991)
- Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (1991)

Testi di riferimento

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