Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloCALCULUS OF VARIATIONS - 8 CFU
Insegnante
Roberto Monti
Periodo
I Anno - 2 Semestre | 28/02/2022 - 11/06/2022
Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)
Prerequisiti
I corsi di analisi 1, analisi 2 e analisi reale
Conoscenze e abilità da acquisire
Il formalismo classico del calcolo delle variazioni nel suo sviluppo storico con applicazioni e motivazioni in geometria e fisica. Lo sviluppo della teoria moderna del calcolo delle variazioni nell'ambito degli spazi di Sobolen ed i problemi di regolarità collegati. Discussine e soluzione del XIX e XX problema di Hilbert.
Modalità di esame
Fogli di esercizi ed esame orale
Criteri di valutazione
Il docente verificherà la preparazione dello studente sugli argomenti principali del corso
contenuti
Introduzione al formalismo classico del calcolo delle variazioni: metodi indiretti, variazione prima, equazioni di Eulero-Lagrange, applicazioni.
Alcuni esempi, incluse le superfici minime.
Il principio di minima azione e la formulazione della meccanica analitica di Lagrange.
Primi metodi diretti: minimi in classi di fuzioni Lipschitziane attraverso stime a priori del gradiente.
Medoti diretti moderni: introduzione agli spazi di Sobolev e loro uso in problemi di minimizzazione. Il teorema di Tonelli ed il XX problema di Hilbert.
Prime questioni di regolarità. Regolarità di equazioni ellittiche attraverso la disuguaglianza di Caccioppoli, stime di decadimento, spazi di Campanato.
Problemi di regolarità più profondi: teorema di De Giorgi e soluzione del XIX problema di Hilbert. Regolarità parziale per sistemi ellittici.
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Lezioni alla lavagna
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Il materiale di studio verrà comunicato durante il corso.
Giaquinta, Mariano; Martinazzi, Luca, <