Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloALGEBRAIC GEOMETRY 2 - 6 CFU
Insegnante
Periodo
I Anno - 2 Semestre | 28/02/2022 - 11/06/2022
Ore: 48 (24 esercitazione, 24 lezione)
Prerequisiti
Basi di topologia e geometria differenziale. E` consigliato conoscere le nozioni di base sulla teoria delle superficie di Riemann.
Conoscenze e abilità da acquisire
Buona conoscenza degli strumenti algebrici e differenziali utilizzati in geometria complessa e geometria algebrica.
Modalità di esame
Seminario con domande sulla teoria svolta.
Criteri di valutazione
La valutazione della preparazione dello studente sia baserà sulla comprensione degli argomenti svolti, sull'acquisizione dei concetti e delle metodologie proposte e sulla capacità di applicarli in modo autonomo e consapevole.
contenuti
Il corso è pensato come una continuazione in dimensione superiore delle idee sviluppate nello studio delle superfici di riemann.
- Preliminari: funzioni olomorfe e meromorfe in più variabili complesse, la differenza con le funzioni olomorfe di una variabile complessa.
- Varietà complesse: definizioni e proprietà.
- Spazio tangente complesso e calcolo differenziale complesso.
- Fibrati vettoriali: fibrati vettoriali complessi, olomorfi, hermitiani. Connessioni e curvatura, la connessione di Chern. L'esempio dei fibrati in rette. Forme di Chern.
- Divisori, fibrati in rette, e gruppo di Picard. Divisori di Weil e di Cartier.
- Varietà di Kaehler: esempi, forma volume. La metrica di Fubini-Study e le varietà proiettive come varietà di Kaehler. Esempi di varietà non Kaehler.
- Introduzione alla coomologia: coomologia di de Rham, coomologia di Dolbeault, cenni alla coomologia singolare e alla coomologia dei fasci. Si illustrerà il calcolo di alcuni gruppi di coomologia in alcuni casi, le varietà complesse o proiettive o di Kaehler, che fanno da motivazione per teorie più generali (affrontate in altri corsi).
- Strumenti analitici: integrazione, metrica L^2, operatori su varietà di Kaehler, Laplaciano.
- Identità di Hodge, decomposizione di Hodge e simmetria di Hodge.
- La decomposizione di Hodge nel contesto algebrico (varietà proiettive), la congettura di Hodge.
- 2 teoremi importanti: teorema di immersione di Kodaira, teorema di Torelli.
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Lezioni e esercizi proposti.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Ulteriori materiali di studio saranno disponibili nella pagina moodle del corso.
Testo principale adottato:
Claire Voisin "Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry", Cambridge University Press.
Altri testi:
Daniel Huybrechts "Complex Geometry: An Introduction", Springer.
Phillip Griffiths, Joseph Harris "Principles of Algebraic Geometry", Wiley.