Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloADVANCED ANALYSIS - 8 CFU
Insegnante
Giovanni Colombo
Periodo
I Anno - 2 Semestre | 28/02/2022 - 11/06/2022
Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)
Prerequisiti
Elementi di analisi reale e funzionale (questi ultimi verranno richiamati nella prima lezione)
Conoscenze e abilità da acquisire
Gli studenti saranno guidati in modo graduale nell'acquisizione di alcuni dei principali metodi e idee della moderna analisi non lineare. Questo dovrebbe condurli alla capacità di affrontare con semplicità un largo spettro di argomenti, sia applicativi che teorici.
Modalità di esame
Un esame orale sui principali argomenti del corso, che include lo svolgimento di qualche esercizio tra quelli assegnati durante il corso.
Criteri di valutazione
Sarà valutata la buona comprensione degli argomenti, dei risultati e delle principali idee presentate nel corso. Anche l'approfondimento di un particolare argomento o applicazione potrà essere oggetto di giudizio.
contenuti
Teoremi di punto fisso di Brouwer e Schauder, con applicazioni. Il teorema della palla pelosa. Differenziale di Gateaux e Fréchet, differenziabilità della norma negli spazi L^p.
Il principio variazionale di Ekeland con alcune applicazioni (Il teorema di punto fisso di Banach, invertibilità locale infinito-dimensionale). Ulteriori applicazioni alle PDE e alla teoria del controllo.
Elementi di Analisi Convessa: regolarità delle funzioni convesse, sottodifferenziale e vettori normali, coniugazione convessa, minimizzazione e diseguaglianze variazionali. Metodi variazionali: applicazioni al p-Laplaciano e ai problemi ellittici con ostacolo. Applicazione dell'analisi convessa a problemi quasi statici.
Un' introduzione alla Teoria del Controllo. Chiusura dell'insieme delle traiettorie e esistenza di controlli ottimali per problemi di minimo. Condizioni necessarie per problemi di Controllo Ottimale. Il principio del Massimo di Pontryagin. Controllabilità e Teorema di Rashewskii-Chow (cenni).
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Lezioni frontali ed esercizi. Eventuali approfondimenti personali.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Tutte le lezioni saranno svolte usando una lavagna elettronica proiettata sullo schermo. Le lezioni saranno poi messe a disposizione degli studenti, in formato pdf, entro 24 ore dal loro svolgimento.