Laurea Magistrale in Matematica
Salta il menu di secondo livelloTEORIA DELLE FUNZIONI - 8 CFU
Insegnante
Davide Vittone
Periodo
I Anno - 1 Semestre | 30/09/2019 - 18/01/2020
Ore: 64 (32 esercitazione, 32 lezione)
Prerequisiti
Oltre ai corsi di Analisi 1 e 2, i corsi di Analisi Reale e di Analisi Funzionale 1
Conoscenze e abilità da acquisire
Acquisire dimestichezza con i principali spazi di funzioni e di funzioni generalizzate. Padroneggiare le tecniche di base della teoria delle distribuzioni, delle funzioni di Sobolev e delle funzioni a variazione limitata. Acquisire dimestichezza con il linguaggio della teoria geometrica della misura. Essere in grado di sfruttare le conoscenze ottenute nel corso per la risoluzione di semplici problemi di Analisi Matematica.
Modalità di esame
Esercizi lasciati come compito a casa (un foglio di esercizi per ciascuna delle quattro parti del corso), in base ai quali verrà proposto un voto. Esame orale facoltativo.
Criteri di valutazione
Padronanza delle conoscenze acquisite ed abilità nell'utilizzarle per la soluzione di semplici problemi. Completezza e chiarezza delle soluzioni degli esercizi proposti (anche di tipo teorico). In caso di esame orale, padronanza delle tecniche dimostrative esposte nel corso.
contenuti
Tra parentesi quadre vengono elencati gli argomenti che potrebbero essere omessi o presentati senza dimostrazioni a seconda del tempo a disposizione e/o degli interessi dell'uditorio.
TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI
Definizione, derivate nel senso delle distribuzioni, ordine di una distribuzione, distribuzioni a supporto compatto, convoluzioni, distribuzioni temperate, trasformata di Fourier, applicazioni.
SPAZI DI SOBOLEV
Definizione e proprietà elementari, teoremi di approssimazione, teoremi di traccia al bordo e di estensione, disuguaglianze di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, Poincaré e Morrey, teoremi di compattezza, [capacità e proprietà fini delle funzioni di Sobolev].
ELEMENTI DI TEORIA GEOMETRICA DELLA MISURA
Richiami di teoria della misura, teoremi di ricoprimento e di derivazione di misure, misure e dimensione di Hausdorff, funzioni Lipschitziane e teorema di Rademacher, insiemi rettificabili, spazio tangente approssimato, [formule di area e coarea]
FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA
Definizione, teoremi di approssimazione e compattezza, [teoremi di traccia ed estensione], formula di coarea, insiemi di perimetro finito, [disuguaglianze isoperimetriche, frontiera ridotta e teorema di struttura per insiemi di perimetro finito, proprietà fini e teorema di decomposizione della derivata]
Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento
Lezioni frontali alla lavagna.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio
Eventuali referenze bibliografiche non elencate tra i testi di riferimento verranno direttamente segnalati in aula.
Testi di riferimento
- Bony, Jean-Michel, AnalyseJ.-M. Bony, [Paris], Ecole polytechnique, 1988.
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F., Measure theory and fine properties of functionsLawrence C. Evans and Ronald F. Gariepy, Boca Raton [etc.], CRC, 0.
- Ambrosio, Luigi, Corso introduttivo alla teoria geometrica della misura e alle superfici minimeLuigi Ambrosio, Pisa, Scuola normale superiore, 1997.