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Laurea in Matematica

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GEOMETRIA 1 - 14 CFU

Insegnante

Maurizio Cailotto

Periodo

I Anno - Annuale | 28/09/2020 - 12/06/2021

Ore: 124 (60 esercitazione, 64 lezione)

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Prerequisiti

Nessuno

Conoscenze e abilità da acquisire

Conoscenza delle nozioni fondamentali dell'algebra lineare e della loro interpretazione geometrica, con particolare attenzione al concetto di spazio vettoriale e di funzione lineare.
Risoluzione di sistemi lineari, applicazioni dei determinanti, forma canonica di Jordan per endomorfismi.
Studio di sottovarietà lineari dello spazio affine ed euclideo.
Calcolo baricentrico e sue applicazioni.
Calcolo del volume di simplessi dello spazio euclideo (Identità di Lagrange).
Applicazioni affini e isometrie e loro rappresentazione tramite matrici.
Teorema Spettrale (per matrici simmetriche e normali) e sue applicazioni.
Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio tridimensionale secondo Eulero.

Modalità di esame

Prova scritta sui contenuti del corso e successiva prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di alcuni esercizi. La prova orale nell'esposizione di alcuni dei risultati presentati nel corso e nel loro utilizzo.

Criteri di valutazione

Il voto finale si basa sui risultati delle prove scritte e orali. Viene valutata la capacità di risolvere problemi e la padronanza e l'autonomia acquisite nell'utilizzo dei contenuti e delle tecniche presentate durante il corso.

contenuti

Introduzione all'Algebra lineare e alle sue applicazioni alla geometria dello spazio affine e euclideo di dimensione finita.

-- Numeri Complessi: Piano di Gauss.
Riflessioni rispetto a rette e cerchi.
Cenni alle Trasformazioni di Moebius.

-- Spazi Vettoriali:
Sottospazi. Intersezione e somma.
Indipendenza lineare. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate.
Equazioni parametriche e cartesiane per un sottospazio.
Relazioni di Grassmann.
Spazio quoziente, proiezione canonica. Teoremi di Isomorfismo.

-- Applicazioni Lineari e Matrici:
Nucleo e immagine. Rango e formula delle dimensioni.
Isomorfismi.
Lo spazio vettoriale delle matrici mxn e la sua base canonica.
Prodotto di matrici. Matrici invertibili e gruppo lineare generale.
Matrice associata ad un'applicazione lineare.
Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici.
Matrici di cambiamento di base.
Equivalenza tra matrici. Matrice trasposta.
Spazio vettoriale duale ed applicazione trasposta. Sottospazi ortogonali.
Dualità tra vettori e forme lineari.

-- Sistemi Lineari:
Teorema di Rouché-Capelli.
Matrici Elementari ed operazioni elementari sulle righe.
Equivalenza per righe e matrici a scalini, riduzione di Gauss.

-- Determinanti:
Funzioni multilineari alternanti su uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Determinante di un endomorfismo e determinante di una matrice quadrata.
Determinante ed invertibilità.
Teorema di Binet.
Sviluppi di Laplace e matrici inverse.
Applicazioni della riduzione di Gauss al calcolo di determinanti.
Alcuni determinanti notevoli.

-- Forme Canoniche di Matrici:
Classificazione per equivalenza e similitudine.
Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico.
Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, primo criterio di diagonalizzabilità.
Criterio di triangolarizzabilità.
Teorema di Hamilton-Cayley, mappa di valutazione, polinomio mimimo.
Teorema di decomposizione, secondo criterio di diagonalizzabilità.
Forme canoniche di Jordan (tipo di nilpotenza).

-- Geometria Affine:
Spazio affine, riferimenti affini e coordinate, sottospazi affini, equazioni parametriche e cartesiane, formula di Grassmann affine.
Calcolo baricentrico: descrizione baricentrica dei sottospazi affini.
Rapporto semplice, teoremi di Ceva e Menelao.
Applicazioni affini e affinità, applicazioni lineari associate e rappresentazione matriciale.
Azione delle trasformazioni affini sui sottospazi affini; punti e sottospazi uniti per una affinità.

-- Geometria Euclidea:
Prodotto scalare standard e sue proprietà, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e misura di angoli, ortogonalità, proiezione ortogonale, basi ortonormali, metodo di Gram-Schmidt, formula di Parseval; simmetrie e proiezioni ortogonali.
Prodotto vettore nello spazio tridimensionale, sue proprietà; identità di Lagrange e sue generalizzazioni.
Prodotto misto; calcolo di volumi di parallelepipedi e simplessi.
Spazio affine Euclideo, ortogonalità, riferimenti ortonormali, distanza tra sottospazi affini, punti di minima distanza; calcoli di distanza, aree, volumi ed angoli; isometrie e similitudini (dirette e inverse), classificazione (di Eulero) delle isometrie.
Matrici simmetriche e teorema spettrale reale.
Equivalenza ortogonale per matrici rettangolari (valori singolari).

-- Geometria Hermitiana:
Prodotto hermitiano standard e sue proprietà, norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, teoremi di Pitagora e Carnot hermitiani, vettori ortonormali, proiezioni ortogonali, basi ortonormali e formula di Parseval, gruppi unitario e unitario speciale.
Matrici hermitiane, normali e teorema spettrale per matrici normali; applicazioni.

Attività di apprendimento previste e metodologie di insegnamento

Lezioni in aula con esercitazioni e risoluzione di problemi, situazione sanitaria permettendo; registrazioni delle lezioni saranno disponibili sulle piattaforme web dell'Università di Padova.

Eventuali indicazioni sui materiali di studio

Dispense complete del corso, materiale di approfondimento e prove d'esame di anni precedenti si troveranno nella pagina web del docente (https://www.math.unipd.it/~maurizio/) e nella pagina moodle del corso.
Saranno anche indicati alcuni testi per riferimenti o approfondimenti.

Testi di riferimento

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